公理的全片选择和组织方式取决于所研究的数学分支。例如，免费欧几里得几何的深夜公理包括“通过给定点可以作一条直线”和“给定一条线段和一个点，在这条线段上可以找到另一点，全片使得这两点与给定的免费点的距离相等”。这些公理被用来推导出几何学中的深夜定理和性质。

公理在数学的全片形式化中起着重要的作用。数学家使用符号和形式化语言来表达公理，免费这样可以避免歧义和误解。深夜公理系统允许数学家通过逻辑推理来探索数学的全片深层结构，并得出新的结论。

公理也被用于研究抽象的数学结构，如群论、环论和域论等。这些领域中的公理被用来定义和描述这些结构的性质和关系。通过研究这些公理系统，数学家可以发现它们之间的联系和相似之处。

总之，公理数学推理的基础，它们被认为真实的，不需要证明。公理提供了一种逻辑框架，使得数学家可以进行推理和探索数学的各个领域。通过使用公理，数学家可以建立起一套严密的数学理论，并从中推导出其他的数学定理和命题。